Fonksiyonlar

Fonksiyon
FONKSİYON

TANIM : f A kümesinden B kümesine bir bağıntı olsun. f bağıntısında
A nın istisnasız her elemanı B nin en fazla ve en az bir elemanı ile eşleşiyorsa f bağıntısına fonksiyon denir ve
şeklinde gösterilir.

A kümesine tanım kümesi,
B kümesine görüntü kümesi denir.

Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,
görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.

Bu yeni terimleri kullanarak fonksiyon olma şartını yeniden yazalım :
A'nın her orjinalinin B içinde en az ve en fazla bir tane görüntüsü olacaktır.

ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A= { 1, 2 , 3 } kümesinden
B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?
1. Β1 = {(1, b), (2, a) }
2. Β2 = {(3,b), (1,c), (2,b) }
3. Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }
4. Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }
ÇÖZÜM :
1. 1. Β1 = {(1, b), (2, a) }
A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir görüntüsü yoktur.
Β1 fonksiyon değildir.
2. 2. Β2 = { (3, b), (1,c), (2,b) }
A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.
Β2 fonksiyondur.
3. 3. Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }
A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.
Β3 fonksiyondur. Görüntüler eşit olabilir.
4. 4. Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }
A kümesindeki her orijinalin B içinde yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki tane farklı görüntüye sahiptir.
Β4 fonksiyon değildir.

ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.
1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve
en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki
mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı
fonksiyon değildir.

2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en
az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların
yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en
az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası
mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün
değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.
UNUTMAYIN : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.

4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı
için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye
iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti
vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.

Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.

ÖRNEK : f : A = {1, 2, 3 } B
f(x) = 2x + 3
fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım:
Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.

Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.
1 in görüntüsü f(1) = 2.1 + 3 = 5
2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7
3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9
f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.

ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:
1. Tanım kümesi nedir?
2. Görüntü kümesi nedir?
3. f(2) = ?
4. f(-3) = ?
5. f(5) = ?
ÇÖZÜM :
1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.
A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }
2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.
B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }

3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"
2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır. f(2) = -1

4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"
-3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır. f(-3) = 9

5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"
5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.
Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.
5 in görüntüsü yoktur.


FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

SABİT FONKSİYON :
f : A B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye
sabit fonksiyon denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gцsterilir.
ÖRNEK :
A = { 2 ,5 ,7 , } olmak üzere
f : A B
f (x) = 6
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 ‘ dır .

ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.

BİRİM FONKSİYON

f : A B
f(x) = x

f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .
Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir .
Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.

ÖRNEK :
Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan
I : A A
fonksiyonu birim fonksiyondur
Çünkü : I(x) = x olur.
I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .

ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı
çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü
ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet
olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın
fonksiyonu sabit fonksiyondur.

İÇİNE FONKSİYON

f : A B fonksiyonunda orijinallere ait görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f , içine fonksiyondur .
ÖRNEK:

Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.
Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.
{ 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 } olur. f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir.
Yani B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.